![[5-1] 2단원 (3) 최대공약수를 구하는 방법을 알아볼까요](https://i.ytimg.com/vi/lweZX058oHM/hqdefault.jpg)
콘텐츠
두 숫자의 최대 공약수 (GCF)를 찾는 것은 수학의 많은 상황에서 유용하지만 특히 분수를 단순화 할 때 유용합니다. 이 문제로 어려움을 겪거나 공통 분모를 찾는 경우 공통 요인을 찾는 두 가지 방법을 배우면 시작하려는 목표를 달성하는 데 도움이됩니다. 우선, 요인의 기본에 대해 배우는 것이 좋습니다. 그런 다음 일반적인 요인을 찾기위한 두 가지 방법을 살펴볼 수 있습니다. 마지막으로 지식을 적용하여 분수를 단순화하는 방법을 살펴볼 수 있습니다.
요인은 무엇입니까?
요인은 다른 수를 만들기 위해 함께 곱하는 숫자입니다. 예를 들어, 2와 3은 6의 요인입니다. 2 × 3 = 6이기 때문입니다. 마찬가지로, 3과 3은 9의 요인입니다. 3 × 3 = 9입니다. 아시다시피 소수는 다른 요인이없는 숫자입니다. 따라서 3은 소수입니다. 3을 답으로하기 위해 함께 곱할 수있는 두 정수 (정수)는 3과 1이므로, 7은 소수입니다. 13도 마찬가지입니다. .
이 때문에 숫자를 "프라임 요소"로 나누는 것이 종종 도움이됩니다. 이는 다른 숫자의 모든 소수 요소를 찾는 것을 의미합니다. 기본적으로 숫자를 기본 "빌딩 블록"으로 나눕니다. 이는 두 숫자의 가장 큰 공통 요소를 찾는 데 유용한 단계이며 제곱근을 단순화 할 때 매우 유용합니다.
가장 큰 공통 요소 찾기 : 방법 1
두 숫자의 가장 큰 공통 요소를 찾는 가장 간단한 방법은 각 숫자의 모든 요소를 간단히 나열하고 두 숫자가 공유하는 가장 높은 숫자를 찾는 것입니다. 가장 큰 공통 계수 45와 60을 찾고 싶다고 상상해보십시오. 먼저 곱할 수있는 다른 숫자를보고 45를 만듭니다.
시작하는 가장 쉬운 방법은 소수에 대해서도 잘 알려진 두 가지를 사용하는 것입니다. 이 경우 우리는 1 × 45 = 45를 알고 있으므로 1과 45는 45의 요소입니다. 이것들은 45의 첫 번째와 마지막 요소이므로 여기에서 채울 수 있습니다. 다음으로 2가 요인인지 확인하십시오. 짝수는 2로 나눌 수 있고 홀수는 그렇지 않기 때문에 쉽습니다. 우리는 2가 45의 요소가 아니라는 것을 알고 있습니다. 3은 어떻습니까? 3 × 15 = 45이기 때문에 3이 45의 요인이라는 것을 알 수 있어야합니다. 예를 들어, 3 × 12 = 36이라는 것을 알고 있다면 이것으로 3은 45로 연결됩니다.
다음으로 4는 45의 인수입니까? 아니요 – 11 × 4 = 44를 알고 있으므로 불가능합니다! 다음으로 5는 어떻습니까? 이것은 0이나 5로 끝나는 숫자를 5로 나눌 수 있기 때문에 또 다른 쉬운 방법입니다. 그리고 이것을 사용하면 5 × 9 = 45를 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 6은 7 × 6 = 42와 8 × 6 =이기 때문에 좋지 않습니다. 48. 이것으로부터 7과 8이 45의 요소가 아님을 알 수 있습니다. 우리는 이미 9가 알고 있고 10과 11이 요소가 아님을 쉽게 알 수 있습니다. 이 과정을 계속하면 15가 요인이지만 다른 것은 없다는 것을 알게 될 것입니다.
따라서 45의 요인은 1, 3, 5, 9, 15 및 45입니다.
60의 경우 똑같은 과정을 거칩니다. 이번에는 숫자가 짝수이고 (2가 요인이라는 것을 알고 있음) 10으로 나눌 수 있으므로 (5와 10이 둘 다의 요인 임) 조금 더 쉽습니다. 프로세스를 다시 수행 한 후 60의 요인이 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 및 60임을 알 수 있습니다.
두 목록을 비교하면 15가 45와 60의 가장 큰 공통 요소임을 알 수 있습니다.이 방법은 시간이 많이 걸리지 만 간단하고 항상 작동합니다. 또한 바로 발견 할 수있는 높은 공통 요소부터 시작한 다음 각 숫자의 높은 요소를 간단히 찾을 수 있습니다.
최대 공약수 구하기 : 방법 2
두 숫자에 대한 GCF를 찾는 두 번째 방법은 소인수를 사용하는 것입니다. 소인수 분해 프로세스는 모든 요소를 찾는 것보다 조금 쉽고 구조적입니다. 42와 63의 과정을 봅시다.
소인수 분해 과정은 기본적으로 소수만 남을 때까지 숫자를 세분화합니다. 가장 작은 소수 (2)로 시작하여 거기서 시작하는 것이 가장 좋습니다. 따라서 42의 경우 2 × 21 = 42임을 쉽게 알 수 있습니다. 그런 다음 21부터 작업합니다. 2는 요인입니까? 아니요. 3입니까? 예! 3 × 7 = 21, 3과 7은 모두 소수입니다. 이는 42의 주요 요인이 2, 3 및 7임을 의미합니다. 첫 번째 "중단"은 2를 사용하여 21에 도달했으며 두 번째는이를 3과 7로 분류했습니다. 모든 요소를 곱하고 확인하여이를 확인할 수 있습니다. 원래 숫자는 2 × 3 × 7 = 42입니다.
63의 경우 2는 요인이 아니지만 3은 3 × 21 = 63이기 때문에 3입니다. 다시 말하지만 21은 3과 7로 나뉩니다. 확인 결과 필요에 따라 3 × 3 × 7 = 63으로 표시됩니다.
두 숫자가 공통 인 주요 요소를 살펴보면 가장 높은 공통 요소를 찾을 수 있습니다. 이 경우 42에는 2, 3 및 7이 있고 63에는 3, 3 및 7이 있습니다. 공통적으로 3과 7이 있습니다. 가장 큰 공약수를 찾으려면 모든 공약수를 곱하십시오. 이 경우 3 × 7 = 21이므로 21은 42와 63의 가장 큰 공통 요소입니다.
이 방법으로 앞의 예제를 더 빨리 해결할 수 있습니다. 45는 3으로 나눌 수 있고 (3 × 15 = 45) 15는 3으로 나눌 수도 있기 때문에 (3 × 5 = 15) 45의 주요 요소는 3, 3 및 5입니다. 60의 경우 2로 나눌 수 있습니다 (2 × 30 = 60), 30도 2로 나눌 수 있습니다 (2 × 15 = 30). 그러면 15가 남습니다. 우리는 3과 5를 주요 요소로 알고 2, 2, 3, 5를 남깁니다. 두 목록을 비교하면 3과 5가 공통 주요 요소이므로 가장 큰 공통 요소는 3 × 5 = 15입니다.
공통 소수 요인이 3 개 이상인 경우에는 동일한 방식으로 모두 곱하여 가장 큰 공통 계수를 찾습니다.
공통 요인으로 분수 단순화
32/96과 같은 분수가 표시되면 분수를 단순화 할 수있는 방법을 찾을 수 없다면 계산이 매우 복잡해질 수 있습니다. 32와 96의 최소 공약수를 구하면 더 작은 분수를 얻기 위해 둘로 나눌 수를 알 수 있습니다. 이 경우 :
32 = 2 × 16
16 = 2 × 2 × 2 × 2
그래서 32 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
96의 경우 프로세스는 다음을 제공합니다.
96 = 48 × 2
48 = 24 × 2
24 = 12 × 2
12 = 6 × 2
6 = 3 × 2
그래서 96 = 25 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
2라는 것이 분명해야한다5 = 32가 가장 일반적인 요소입니다. 분수의 두 부분을 32로 나누면 다음과 같습니다.
32/96 = 1/3
공통 분모를 찾는 과정도 비슷합니다. 분수 15/45 및 40/60을 추가해야한다고 상상해보십시오. 첫 번째 예에서 15는 45와 60의 가장 큰 공통 요소이므로 즉시 5/15와 10/15로 표현할 수 있습니다. 3 × 5 = 15이고 두 분자 모두 5로 나눌 수 있으므로 두 분수의 두 부분을 모두 5로 나누어 1/3과 2/3을 얻을 수 있습니다. 이제는 추가하기가 훨씬 쉽고 15/45 + 40/60 = 1임을 알 수 있습니다.