정육면체의 대각선 사이의 각도를 찾는 방법

정사각형을 취하고 두 개의 대각선을 그리면 가운데를 교차하여 네 개의 직각 삼각형을 형성합니다. 두 대각선은 90도에서 교차합니다. 큐브의 한 모서리에서 반대쪽 모서리로 이어지는 중심에서 교차하는 큐브의 두 대각선도 직각으로 교차한다고 직관적으로 추측 할 수 있습니다. 당신은 착각 할 것입니다. 큐브의 두 대각선이 서로 교차하는 각도를 결정하는 것은 언뜻보기에 약간 복잡하지만 기하학과 삼각법의 원리를 이해하는 데 큰 도움이됩니다.

모서리의 길이를 하나의 단위로 정의하십시오. 정의에 따라 큐브의 모든 모서리의 길이는 1 단위입니다.

피타고라스 정리를 사용하여 한 모서리에서 같은면의 반대쪽 모서리까지의 대각선 길이를 결정합니다. 명확성을 위해 이것을 "짧은 대각선"이라고합니다. 오른쪽 삼각형의 각 변은 하나의 단위이므로 대각선은 √2와 같아야합니다.

피타고라스 정리를 사용하여 한 모서리에서 반대쪽 모서리의 반대쪽 모서리까지의 대각선 길이를 결정합니다. 이것을 "긴 대각선"이라고 부릅니다. 한 변은 1 단위, 한 변은 "짧은 대각선", √2 단위 인 직각 삼각형이 있습니다. 빗변의 제곱은 변의 제곱의 합과 같으므로 빗변은 √3이어야합니다. 정육면체의 한 모서리에서 반대쪽 모서리까지 이르는 각 대각선 길이는 √3 단위입니다.

정사각형의 중심에서 교차하는 두 개의 긴 대각선을 나타내는 사각형을 그립니다. 교차점의 각도를 찾고 싶습니다. 이 직사각형은 키가 1 단위이고 √2 단위입니다. 긴 대각선은이 사각형의 중심에서 서로 이등분되며 두 가지 다른 유형의 삼각형을 형성합니다. 이 삼각형 중 하나의 한쪽은 한 단위와 같고 다른 두 쪽은 √3 / 2 (긴 대각선 길이의 절반)입니다. 다른 쪽도 √3 / 2와 같지만 다른 쪽은 √2와 같습니다. 삼각형 중 하나만 분석하면되므로 첫 번째 삼각형을 사용하여 알 수없는 각도를 해결하십시오.

이 삼각형의 알 수없는 각도를 풀기 위해 삼각법 공식 c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 – 2ab cos C를 사용하십시오. C는 1이고 a와 b는 모두 √3 / 2와 같습니다. 이 값을 방정식에 꽂으면 알 수없는 각도의 코사인이 1/3임을 확인할 수 있습니다. 1/3의 역 코사인을 취하면 각도가 70.5 도입니다.