기하 계열의 합을 계산하는 방법

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• 기하 시리즈에서 n 번째 요소 찾기
• 기하 시퀀스의 합 계산

수학에서 시퀀스는 증가 또는 감소하는 순서로 배열 된 모든 문자열입니다. 시퀀스에는 이전 숫자에 공약수를 곱하여 각 숫자를 얻을 수있는 경우 기하학적 시퀀스가됩니다. 예를 들어, 시리즈 1, 2, 4, 8, 16입니다. . . 시리즈의 숫자에 2를 곱하면 다음 숫자를 얻게됩니다. 대조적으로, 서열 2, 3, 5, 8, 14, 22. . . 숫자 사이에 공통 인자가 없기 때문에 기하 형이 아닙니다. 기하 시퀀스에는 분수 공통 요소가있을 수 있으며,이 경우 각 연속 숫자는 이전의 숫자보다 작습니다. 1, 1/2, 1/4, 1/8입니다. . . 예입니다. 공통 요소는 1/2입니다.

기하학적 순서에 공통 요인이 있다는 사실을 통해 두 가지 작업을 수행 할 수 있습니다. 첫 번째는 시퀀스에서 임의의 요소 (수학자들이 "nth"요소를 호출하는 것을 좋아함)를 계산하는 것이고, 두 번째는 기하학적 시퀀스의 합을 n 번째 요소까지 찾는 것입니다. 각 용어 쌍 사이에 더하기 부호를 넣어서 시퀀스를 합하면 시퀀스를 기하 계열로 바꿉니다.

기하 시리즈에서 n 번째 요소 찾기

일반적으로 다음과 같은 방식으로 기하학적 시리즈를 나타낼 수 있습니다.

a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ . . .

여기서 "a"는 시리즈의 첫 번째 용어이고 "r"은 공통 요소입니다. 이를 확인하려면 a = 1 및 r = 2 인 계열을 고려하십시오. 1 + 2 + 4 + 8 + 16이됩니다. . . 효과가있다!

이것을 확립하면, 이제 시퀀스에서 n 번째 항에 대한 공식을 도출 할 수 있습니다 (x_엔).

엑스_엔 = ar^(n-1)

지수는 시퀀스의 첫 번째 항을 ar로 쓸 수 있도록 n이 아닌 n-1입니다.⁰"a"와 같습니다.

예제 시리즈에서 4 번째 항을 계산하여이를 확인하십시오.

엑스₄ = (1) • 2³ = 8.

기하 시퀀스의 합 계산

공통 배급이 1보다 크거나 -1보다 작은 발산 시퀀스를 합산하려면 한정된 수의 항까지만 수행 할 수 있습니다. 그러나 무한 수렴 시퀀스의 합을 계산할 수 있지만 이는 1과 -1 사이의 공통 비율을 갖는 것입니다.

기하 합계 수식을 개발하려면 먼저 무엇을하는지 고려해야합니다. 다음과 같은 일련의 추가 사항을 찾고 있습니다.

a + ar + ar² + ar³ +. . . ar^(n-1)

시리즈의 각 용어는 ar^케이k는 0에서 n-1로 간다. 계열의 합계에 대한 공식은 대문자 시그마 부호 – ∑를 사용합니다. 즉, (k = 0)에서 (k = n-1)까지 모든 항을 더합니다.

∑ar^케이 = a

이를 확인하려면 1부터 시작하고 공통 인수 2를 갖는 기하 계열의 처음 4 개 항의 합을 고려하십시오. 위의 공식에서 a = 1, r = 2 및 n = 4입니다. 가져 오기:

1 • = 15

시리즈에 숫자를 직접 추가하면 쉽게 확인할 수 있습니다. 사실, 기하 계열의 합이 필요할 때 일반적으로 용어가 적을 때 숫자를 쉽게 더할 수 있습니다. 그러나 계열에 용어가 많으면 기하 합 수식을 사용하는 것이 훨씬 쉽습니다.