파생 상품을 찾는 방법

콘텐츠

• 경사면으로의 미분
• 전력 함수의 미분
• 파워 시리즈에서 파생
• 테이블에서 파생 된 것

미적분학에서 수행하는 중요한 작업 중 하나는 파생 상품을 찾는 것입니다. 함수의 미분은 해당 함수의 변화율이라고도합니다. 예를 들어, x (t)가 임의의 시간 t에서 자동차의 위치이면, dx / dt로 쓰여진 x의 도함수는 자동차의 속도이다. 또한, 미분은 함수 그래프에 접하는 선의 기울기로 시각화 할 수 있습니다. 이론적 인 수준에서, 이것은 수학자들이 파생물을 찾는 방법입니다. 실제로 수학자들은 기본 규칙과 조회 테이블을 사용합니다.

경사면으로의 미분

두 점 사이의 선의 기울기는 y 값의 차이를 런으로 나눈 값 또는 x 값의 차이입니다. x의 특정 값에 대한 함수 y (x)의 기울기는 점에서 함수에 접하는 선의 기울기로 정의됩니다. 기울기를 계산하려면 점과 근처 점 사이에 선을 구성합니다. 여기서 h는 매우 작은 수입니다. 이 선의 경우, 런 또는 x 값의 변화는 h이고 라이즈 또는 y 값의 변화는 y (x + h)-y (x)입니다. 결과적으로 점에서의 y (x)의 기울기는 / = / h와 거의 같습니다. 기울기를 정확하게 얻으려면 h가 점점 작아짐에 따라 기울기의 값을 0으로가는 "한계"까지 계산합니다. 이 방법으로 계산 된 기울기는 y (x) 또는 dy / dx로 작성된 y (x)의 미분입니다.

전력 함수의 미분

y가 x와 a의 거듭 제곱 인 y의 함수 또는 y (x) = x ^ a 인 함수의 도함수를 계산하기 위해 기울기 / 제한법을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, y가 x 큐브, y (x) = x ^ 3과 같으면 h / 0이 0이 될 때 dy / dx가 한계입니다. (x + h) ^ 3을 확장하면 / h가 표시되며 h로 나눈 후 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2로 줄어 듭니다. h가 0이되는 한계에서 h가있는 모든 항도 0이됩니다. y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2입니다. 3 이외의 값에 대해이 작업을 수행 할 수 있으며 일반적으로 d / dx (x ^ a) = (a-1) x ^ (a-1)을 표시 할 수 있습니다.

파워 시리즈에서 파생

많은 함수를 거듭 제곱 (power series)이라고 할 수 있는데, 이는 무한 수 항의 합입니다. 각각은 C (n) x ^ n 형식이며, 여기서 x는 변수이고, n은 정수이고 C ( n)은 n의 각 값에 대한 특정 숫자입니다. 예를 들어, 사인 함수의 검정력 계열은 Sin (x) = x-x ^ 3 / 6 + x ^ 5 / 120-x ^ 7 / 5040 + ...입니다. 여기서 "..."은 계속되는 항을 의미합니다. 무한대. 함수의 거듭 제곱 계열을 알고있는 경우 거듭 제곱 x ^ n의 미분 값을 사용하여 함수의 미분 값을 계산할 수 있습니다. 예를 들어 Sin (x)의 미분 값은 1-x ^ 2 / 2 + x ^ 4 / 24-x ^ 6 / 720 + ...와 같습니다. 이는 Cos (x)의 거듭 제곱입니다.

테이블에서 파생 된 것

x ^ a와 같은 거듭 제곱, 지수 함수, 로그 함수 및 삼각 함수와 같은 기본 함수의 파생어는 기울기 / 제한법, 검정력 법 또는 기타 방법을 사용하여 찾을 수 있습니다. 그런 다음 이러한 파생 상품이 표에 나열됩니다. 예를 들어 Sin (x)의 도함수가 Cos (x)임을 찾을 수 있습니다. 복잡한 기능이 기본 기능의 조합 인 경우 체인 규칙 및 제품 규칙과 같은 특수 규칙이 필요하며이 규칙도 표에 나와 있습니다. 예를 들어, 체인 규칙을 사용하여 Sin (x ^ 2)의 미분이 2xCos (x ^ 2)임을 알 수 있습니다. 곱셈 규칙을 사용하여 xSin (x)의 미분 값이 xCos (x) + Sin (x)임을 알 수 있습니다. 테이블과 간단한 규칙을 사용하면 모든 함수의 파생물을 찾을 수 있습니다. 그러나 기능이 매우 복잡한 경우 과학자들은 때때로 도움을 얻기 위해 컴퓨터 프로그램에 의지합니다.