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대수는 종종 표현 단순화와 관련이 있지만 일부 표현은 다른 표현보다 처리하기가 더 혼동됩니다. 복소수는 나는, 속성이있는 "가상"숫자 나는 = √-1. 복소수를 포함하는 표현을 단순하게 표현해야한다면 어려워 보일 수 있지만 기본 규칙을 익힌 후에는 매우 간단한 과정입니다.
TL; DR (너무 길고 읽지 않음)
복소수의 대수 규칙을 따라 복소수를 간단히합니다.
복소수 란?
복소수는 나는 빼기 1의 제곱근 인 항입니다. 기본 수준의 수학에서 음수의 제곱근은 실제로 존재하지 않지만 대수 문제에 때때로 나타납니다. 복소수의 일반적인 형식은 다음과 같은 구조를 보여줍니다.
지 = 에이 + 바이
어디 지 복소수 레이블을 지정하고 에이 임의의 숫자 ( "실제"부분이라고 함)를 나타내며 비 는 다른 숫자 ( "가상"부분이라고 함)를 나타내며 둘 다 양수이거나 음수 일 수 있습니다. 따라서 복잡한 숫자의 예는 다음과 같습니다.
지 = 2 −4_i_
음수의 모든 제곱근은 나는, 이것은 모든 복소수의 형식입니다. 기술적으로, 일반 숫자는 단지 복잡한 숫자의 특별한 경우를 나타냅니다. 비 = 0이므로 모든 숫자를 복잡한 것으로 간주 할 수 있습니다.
복소수의 대수에 대한 기본 규칙
복소수를 더하거나 빼려면 실수 부와 허수 부를 개별적으로 더하거나 빼기 만하면됩니다. 복소수의 경우 지 = 2 – 4_i_ 승 = 3 + 5_i_의 합은 다음과 같습니다.
지 + 승 = (2 – 4_i_) + (3 + 5_i_)
=(2 + 3) + (−4 + 5)나는
= 5 + 1_i_ = 5 + 나는
숫자를 빼면 같은 방식으로 작동합니다.
지 − 승 = (2 – 4_i_) − (3 + 5_i_)
= (2 − 3) + (−4 − 5)나는
= −1 − 9_i_
곱셈은 복잡한 숫자를 가진 또 다른 간단한 연산입니다. 나는2 = -1. 따라서 3_i_ × −4_i_를 계산하려면 :
3_i_ × −4_i_ = −12_i_2
하지만 이후 나는2= -1이면
−12_i_2 = −12 ×−1 = 12
완전 복소수로 지 = 2 – 4_i_ 승 = 3 + 5_i_ 다시)와 같이 일반 숫자와 같은 방식으로 (에이 + 비) (씨 + 디), "첫 번째, 내부, 외부, 마지막"(FOIL) 방법을 사용하여 (에이 + 비) (씨 + 디) = ac + 기원전 + 기원 후 + bd. 기억해야 할 것은 인스턴스를 단순화하는 것입니다. 나는2. 예를 들어 :
지 × 승 = (2 – 4_i _) (3 + 5_i_)
= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)
= 6 −12_i_ + 10_i_ – 20_i_2
= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_
복소수 나누기
복소수를 나누는 것은 분수의 분자와 분모에 분모의 복소 공액을 곱하는 것입니다. 복소수 복소수는 허수 부가 부호가 반전 된 복소수 버전을 의미합니다. 그래서 지 = 2 – 4_i_, 복소 공액 지 = 2 + 4_i_ 승 = 3 + 5_i_, 승 = 3-5_i_. 문제의 경우 :
지 / 승 = (2 – 4_i_) / (3 + 5_i_)
필요한 접합체는 승*. 분자와 분모를 이것으로 나눠서 :
지 / 승 = (2 – 4_i_) (3-5_i_) / (3 + 5_i _) (3-5_i_)
그런 다음 이전 섹션에서와 같이 작업합니다. 분자는 다음을 제공합니다.
(2 – 4_i_) (3 −5_i_) = 6 − 12_i_ − 10_i_ + 20_i_2
= −14 – 22_i_
그리고 분모는 다음을 제공합니다.
(3 + 5_i _) (3 − 5_i_) = 9 + 15_i_ – 15_i_ −25_i_2
= 9 + 25 = 34
이것은 다음을 의미합니다.
지 / 승 = (−14 – 22_i_) / 34
= −14/34 − 22_i_ / 34
= −7/17 – 11_i_ / 17
복소수 단순화
복잡한 표현을 단순화하려면 필요에 따라 위의 규칙을 사용하십시오. 예를 들면 다음과 같습니다.
지 = ((4 + 2_i_) + (2 – 나는)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ 나는))
분자의 덧셈 규칙, 분모의 곱셈 규칙을 사용하고 나눗셈을 완료하면이를 단순화 할 수 있습니다. 분자의 경우 :
(4 + 2_i_) + (2 – 나는) = 6 + 나는
분모의 경우 :
(2 + 2_i _) (2+ 나는) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
= (4 – 2) + 6_i_
= 2 + 6_i_
이것을 다시 제자리에 놓으면
지 = (6 + 나는) / (2 + 6_i_)
두 부분에 분모의 공액을 곱하면 다음과 같습니다.
지 = (6 + 나는) (2 – 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 – 6_i_)
= (12 + 2_i_ – 36_i_ −6_i_2) / (4 + 12_i_ – 12_i_ −36_i_2)
= (18 – 34_i_) / 40
= (9 – 17_i_) / 20
= 9/20 −17_i_ / 20
따라서 이것은 지 다음과 같이 단순화합니다.
지 = ((4 + 2_i_) + (2 – 나는)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ 나는)) = 9/20 −17_i_ / 20